Question

（2013•丰台区二模）已知关于x的方程x²-（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线y=x²-（m-2）x+m-3与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值．

Answer 1

分析：（1）通过该一元二次方程的根据的判别式△≥0可得此方程总有两个实数根；
（2）根据函数解析式易求得该函数图象与x、y轴的交点坐标，然后根据“抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M”可以列出-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

解答：（1）证明：△=b²-4ac=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）解：抛物线y=x²-（m-2）x+m-3与y轴交点为M（0，m-3），
抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m-3，0），它们关于直线y=-x的对称点分别为（0，-1）和（0，3-m）．
由题意，可得：-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．