Question

下列命题：
①在实数范围内，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根为x=；
②若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
③△ABC的三边为a，b，c是关于x的一元二次方程（c+b）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实数根，则△ABC为直角三角形；
④关于x的方程（k-3）x²+kx+1=0总有实数根．其中正确的是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   只有①③④
3. C.
   只有②③
4. D.
   只有②③④

Answer 1

D
分析：根据一元二次方程的求根根式对①进行判断；由于x=1时，a+b+c=0，而a≠0，说明一元二次方程有实数根，根据△的意义可对②进行判断；根据△的意义得到△=（2a）²-4（c+b）（c-b）=0，变形得a²+b²=c²，然后根据勾股定理的逆定理对③进行判断；讨论：当k-3=0，即k=3，方程为3x+1=0，方程有一个实数解，当k-3≠0，△=k²-4（k-3）=（k-2）²+8＞0，方程有方程有两个不相等实数根，于是可对④进行判断．
解答：在实数范围内，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根为x=（b²-4ac≥0），所以①错误；若a+b+c=0，则x=1，方程有实数解，而a≠0，方程有实数根，所以②正确；△=（2a）²-4（c+b）（c-b）=0，则a²+b²=c²，△ABC为直角三角形，所以③正确；当k-3=0，即k=3，方程为3x+1=0，x=-，当k-3≠0，△=k²-4（k-3）=（k-2）²+8＞0，方程有两个不相等实数根，所以方程（k-3）x²+kx+1=0总有实数根，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理．