Question

15．若正三角形的边长为6，则其内切圆的半径等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据O为等边△ABC的内心（也是等边△AB的外心），连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，则AD⊥BC，BD=DC，即OD是△ABC内切圆的半径，求出BD=DC=2，求出∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，在Rt△OBD中，求出OD=BD•tan30°=$\sqrt{3}$，即可得出答案．

解答 解：设O为等边△ABC的内心，连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，
则AD⊥BC，BD=DC，
即OD是△ABC内切圆的半径，
∵BC=6，
∴BD=DC=3，
∵O为等边△ABC内切圆的圆心，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△OBD中，OD=BD•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆、外接圆、含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用等知识，得出正三角形内外心的关系是解题关键．