Question

已知关于x的一元二次方程x²+2x+3k=0有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）设x₁，x₂为方程的两实数根，求y=x₁•x₂+5的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，从而求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，先表示出x₁•x₂，再代入y，得到用含k的代数式表示y的形式，然后根据一次函数的性质求解．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+3k=0有实数根，
∴△=b²-4ac=4-12k≥0，
解之得k≤

1

3

；
（2）∵x₁，x₂为方程的两实数根，
∴x₁•x₂=3k，
∴y=3k+5，
∴y随k的增大而增大．
又∵k≤

1

3

，
∴当k取最大值

1

3

时，y有最大值，
此时y=3×

1

3

+5=6．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，根与系数的关系及一次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
一元二次方程根与系数的关系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
一次函数y=kx+b的性质：（1）k＞0，y随x的增大而增大；（2）k＜0，y随x的增大而减小．