Question

8．二次函数y=x²-2mx-3m²（其中m是常数，且m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），在y轴交于C，点D在第四象限的抛物线上，连接AD，过点A作射线AE交抛物线于另一点E，AB平分∠DAE
（1）若△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；
（2）若点D、E的横坐标分别为a、b，求$\frac{a+b}{m}$的值；
（3）当DC∥x轴时，求$\frac{AE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求得抛物线与x轴两交点的坐标为A（-m，0），B（3m，0）．，然后再求得点C的坐标，然后依据△ABC的面积为6列方程求解即可；
（2）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．由题意可知D（a，a²-2ma-3m²），E（b，b²-2mb-3m²），AN=a+m，AM=b+m，ND=-a²+2ma+3m²，ME=b²-2mb-3m²，然后依据∠tanEAN=tan∠DAN可得到a、b、m的关系式，通过变形可得到$\frac{a+b}{m}$的值；
（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．先求得抛物线的对称轴方程，则可得到点D的横坐标，由（2）中的结论可求得点E的横坐标为4m，故此可得到AN和AM的长，然后再证明△AEM∽△ADN，依据相似三角形的性质可知$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AN}{AM}$，于是可求得$\frac{AE}{AD}$的值．

解答 解：（1）令y=0得：x²-2mx-3m²=0，解得x=-m或x=3m，
∵m＞0，点A在点B左侧，
∴A（-m，0），B（3m，0）．
当x=0时，y=-3m²，
∴C（0，-3m²）．
∵△ABC的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$×4m×3m²=6，解得m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）如图1所示：过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．

∵点D、E的横坐标分别为a、b，
∴D（a，a²-2ma-3m²），E（b，b²-2mb-3m²）．
∴AN=a+m，AM=b+m，ND=-a²+2ma+3m²，ME=b²-2mb-3m²．
∵AB平分∠DAE，
∴∠tanEAN=tan∠DAN．
∴$\frac{EM}{AM}=\frac{DN}{AN}$，即$\frac{{b}^{2}-2mb-3{m}^{2}}{b+m}=\frac{-{a}^{2}+2ma+3{m}^{2}}{a+m}$．
∴b-3m=-（a-3m）．
∴a+b=6m．
∴$\frac{a+b}{m}$=6．
（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N．

∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴抛物线的对称轴为x=m．
∵CD∥x轴，C（0，-3m²）
∴D（2m，-3m²）．
设点E的坐标横坐标为b．
由（2）可知2m+b=6m，解得：b=4m，
∴AN=3m，AM=5m．
∵∠EAM=∠DAN，∠AND=∠AME=90°，
∴△EAM∽△DAN．
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{5m}{3m}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判定，用含m的式子表示出AN、AM的长是解答本题的关键．