
解:(1)过点B作BD⊥x轴于点D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60°,
在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30°
∴OD=1,DB=

∴点B的坐标是(1,

).
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax
2+bx+c(a≠0),
由已知可得:

,
解得:a=

,b=

,c=0,
∴所求抛物线解析式为y=

x
2+

x.
(3)存在,
由y=

x
2+

x配方后得:y=

(x+1)
2-

∴抛物线的对称轴为x=-1
(也可用顶点坐标公式求出)
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+CO;
∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,
∵点O与点A关于直线x=-1对称,有CO=CA
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有:

,
解得:k=

,b=

,
∴直线AB的解析式为y=

x+

,
当x=-1时,y=

,
∴所求点C的坐标为(-1,

),
(4)设P(x,y)(-2<x<0,y<0),

则y=

x
2+

x①
过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,
则PQ=-x,PG=-y,
由题意可得:S
△PAB=S
梯形AFEB-S
△AFP-S
△BEP=

(AF+BE)•FE-

AF•FP-

PE•BE
=

(-y+

-y)(1+2)-

(-y)(x+2)-

(1-x)(

-y)
=

②
将①代入②,
化简得:S
△PAB=-

x
2-

x+

=

(x+

)
2+

∴当

时,△PAB得面积有最大值,最大面积为

.
此时

∴点P的坐标为

.
分析:(1)由已知得OA=2,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,则OB与x轴的正方向夹角为60°,过点B作BD⊥x轴于点D,解直角三角形可得OD、BD的长,可表示B点的坐标;
(2)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;
(3)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标;
(4)设P(x,y)(-2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值.
点评:本题考查了坐标系中点的坐标求法,抛物线解析式的求法,根据对称性求线段和最小的问题,也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题;
解答本题(4)也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置,联立此时的直线解析式与抛物线解析式,可求唯一交点P的坐标.