Question

11．如图，正方形ABCD，AM⊥MN，DN交BC延长线于F．
（1）如图1，M为BC中点，AM=MN，则△CDF的形状是等腰直角三角形；
（2）如图2，E是AB上一动点，M为EC中点，CF=CD，则AM与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作NG⊥CF于G，则∠MGN=90°，NG∥CD，由正方形的性质得出AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，由AAS证明△ABM≌△MGN，得出BM=GN，AB=MG，证明GN是△CDF的中位线，得出G是CF的中点，证出CD=CF，即可得出结论；
（2）连接BM、DM；由直角三角形斜边上的中线性质得出MB=$\frac{1}{2}$EC=MC=EM，得出∠MBC=∠MCB，因此∠ABM=∠DCM，由SAS证明△ABM≌△DCM，得出AM=DM，得出∠MAD=∠ADM，设∠MAD=∠ADM=x，则∠MDC=90°-x，求出∠MDN=135°-x，∠DNM=135°-x，得出MN=MD，即可得出结论．

解答 解：（1）△CDF是等腰直角三角形；理由如下：
作NG⊥CF于G，如图1所示：
则∠MGN=90°，NG∥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠BAM+∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMG=90°，
∴∠BAM=∠GMN，
在△ABM和△MGN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MGN}&{\;}\\{∠BAM=∠GMN}&{\;}\\{AM=MN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△MGN（AAS），
∴BM=GN，AB=MG，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，
∴GN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$CD，CG=CM，
∴GN是△CDF的中位线，
∴G是CF的中点，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
（2）AM=MN；理由如下：
连接BM、DM；如图2所示：
∵M为EC中点，∠B=90°，
∴MB=$\frac{1}{2}$EC=MC=EM，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠ABM=∠DCM，
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠ABM=∠DCM}&{\;}\\{BM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴AM=DM，
∴∠MAD=∠ADM，
设∠MAD=∠ADM=x，
∴∠MDC=90°-x，
∴∠DMN=90°-（180°-2x）=2x-90°，
∵CF=CD，
∴∠F=∠CDF=45°，
∴∠MDN=135°-x，
∴∠DNM=180°-∠MDN-∠DMN=180°-（90°-x+45°）-（2x-90°）=135°-x，
∴∠MDN=∠MND，
∴MN=MD，
∴AM=MN．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度．