Question

4．我市某工艺厂为配合伦敦奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投入市场进行试销，得到如数据：

销售单价x （元/件）	…	30	40	50	60	…
每天销售量 y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为9000元？（利润=销售总价-成本总价）
（3）根据要求，试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元，每天销售量不低于350件，试确定销售单价x（元/件）的取值范围，并求出工艺厂试销该工艺品每天获得的最大利润．

Answer 1

分析 （1）描点，观察图象可猜想y是x的一次函数，设该函数关系式为y=kx+b，根据点（30，500）、（40，400）利用待定系数法即可求出该函数关系式，再代入另两点验证即可得出结论；
（2）由利润=销售总价-成本总价结合每天获得的利润为9000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由每天获得的利润不低于8000元及每天销售量不低于350件，即可得出关于x的一元二次不等式组，解之即可得出x的取值范围，设该工艺厂试销工艺品每天获得的利润为w元．根据利润=销售总价-成本，即可得出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质结合x的取值范围，即可解决最值问题．

解答 解：（1）描出4个点，如图所示，
由图可猜想y是x的一次函数，设该函数关系式为y=kx+b，
∵图象过（30，500），（40，400）这两点，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=500}\\{40k+b=400}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$，
∴y=-10x+800．
当x=50时，y=-10x+800=300；
当x=60时，y=-10x+800=200．
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+800．
（2）根据题意得：x（-10x+800）-20（-10x+800）=9000，
解得：x₁=x₂=50．
∴当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为9000元．
（3）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x（-10x+800）-20（-10x+800）≥8000}\\{-10x+800≥350}\end{array}\right.$，
解得：40≤x≤45．
设该工艺厂试销工艺品每天获得的利润为w元．
则w=x（-10x+800）-20（-10x+800）=-10x²+1000x-16000=-10（x-50）²+9000，
∵在w=-10（x-50）²+9000中，a=-10＜0，
∴在40≤x≤45中，w值随x值的增大而增大，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为8750．
∴当销售单价定为45元/件时，工艺厂每天获得的利润最大，最大值为8750元．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解一元二次不等式组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据利润=销售总价-成本总价结合每天获得的利润为9000元，列出关于x的一元二次方程；（3）根据利润=销售总价-成本，找出w关于x的函数关系式．