Question

已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB，垂足为M，AB=4，CD=2

3

，点E在AB的延长线上，且tanE=

3

3

．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）将△ODE平移，平移后所得的三角形记为△O′D′E′．求当点E′与点C重合时，△O′D′E′与⊙O重合部分的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出sin∠DOM，即可求出∠DOM，同样，再利用tan∠E=

3

3

，可求出∠E，那么在△DOE中，利用三角形内角和等于180°可求出∠ODE=90°，从而DE是⊙O的切线；
（2）由∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，易求DE=2

3

，在Rt△ODM中，OM=1，则AM=3，在Rt△ACM中，利用勾股定理可求AC=2

3

，于是AC=DE=D′E′，根据题意，由平移到性质可知△ODE≌△O′AC，那么∠O′CA=30°，∠AOF=60°，再由平移的性质可知CF∥OA，在RT△FCD中，易求CF=2，∠CFO=∠FOC=60°，因此△FOC是等边三角形，于是CF=OA=2，因而S_△AFO=S_△AFC，那么重合部分的面积=S_扇形AOF=

2

3

π．

解答：（1）证明：连接OD．
∵弦CD⊥直径AB，AB=4，CD=2

3

，
∴MD=

1

2

CD，
∴OD=

1

2

AB=2．
在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=

MD

OD

=

3

2

，
∴∠DOM=60°，
在Rt△DME中，∵tanE=

3

3

，
∴∠E=30°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，
∴DE=2

3

，
在Rt△ODM中，OM=1，
∴AM=3，
在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=2

3

，
∴AC=DE=D′E′，
∵点E′与点C重合，
∴平移后的D′E′与AC重合，
交⊙O于点F，连接OF、OC、AF，
由平移的性质得△ODE≌△O′AC，
∴∠O′CA=∠E=30°，∠AOF=2∠ACO′=60°．
由平移的性质可知FC∥AO，
在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°，
∴△FOC为等边三角形，
∴FC=OA=2，
∴S_△AFO=S_△AFC，
∴S重合部分=S扇形AOF=

60π×22

360

=

2

3

π．（5分）

点评：本题利用了三角函数值、切线的判定、平移的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积计算公式、勾股定理．