【题目】如图,抛物线经过,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在第一象限的抛物线上,且点的横坐标为,设的面积为,求与的函数关系式,并求的最大值;
(3)在轴上是否存在点,使以点,,为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出点坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2),当时,的最大值为8;(3)存在. 或或,
【解析】
(1)抛物线y=ax2+3x+c经过A(-1,0),B(4,0),把A、B两点坐标代入上式,解得:a=-1,c=4,即可求解;
(2)如图所示,过点作的垂线,把代入抛物线的解析式,先求出C点坐标,把B,C代入抛物线方程,求出直线的解析式,再根据P点的横坐标为,得到,,PQ,根据三角形面积公式即可求出S;
(3)存在.分EC=BE、BC=CE、BC=BE分别求解即可.
解:(1)∵抛物线经过,,
把、两点坐标代入上式,解得:,,
故:抛物线;
(2)∵将代入抛物线的解析式得:,
∴,
把将,代入抛物线方程,
解得:直线的解析式为:.
过点作的垂线,如图所示:
∵点的横坐标为,
∴,.
∴.
∴.
∴当时,的最大值为8;
(3)存在. 如图所示:
当时,在原点,此时点,
当时,在点关于轴对称点,此时点,
当时,,此时,,
即:或或,.
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【题目】如图,中,以为直径作⊙,交于点,为弧上一点,连接、、,交于点.
(1)若,求证:为⊙的切线;
(2)若,求证:平分;
(3)在(2)的条件下,若,求⊙的半径.
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【题目】作图题:在图(1)(2)所示抛物线中,抛物线与轴交于、,与轴交于,点是抛物线的顶点,过平行于轴的直线是它的对称轴,点在对称轴上运动。仅用无刻度的直尺画线的方法,按要求完成下列作图:
(1)在图①中作出点,使线段最小;
(2)在图②中作出点,使线段最大.
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【题目】二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为( )
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
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【题目】如图,已知抛物线的顶点为P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)设Q是直线BC上方该抛物线上除点P外的一点,且△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,以为边长在第一象限内作正方形,若反比例函数()的图象经过顶点.
(1)试确定的值;
(2)若正方形向左平移个单位后,顶点恰好落在反比例函数的图象上,试确定的值.
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