Question

15．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．
（1）求证：△DAG≌△DFG；
（2）求证：BG=2AG；
（3）求S_△BEF的值．

Answer 1

分析 （1）由折叠得到结论，用HL判断出Rt△DAG≌Rt△DFG，
（2）根据线段的关系，表示出AG，FG，EG，BG，利用勾股定理求出x值即可；
（3）求出BH，然后用三角形面积公式求解即可．

解答 解：（1）由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAG≌Rt△DFG，
（2）∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
即：（x+6）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，
∴BG=2AG，
 （3）如图，

过点B作BH⊥GE，垂足为H，
由（2，）有，BG=12-4=8，BE=6，GE=10，
∴BH=$\frac{BG×BE}{GE}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF×BH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{24}{5}$=$\frac{72}{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是勾股定理的运用．