Question

9．如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则
（1）四边形ABCD是菱形；
（2）若∠B=120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据四边相等的四边形是菱形即可判定．
（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD，当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，利用面积法证明PE+PF=CM即可解决问题．

解答 解：（1）∵AB=BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴AB=BC=AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为菱．
（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．

当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，
∵∠B=∠ADC=120°，
∴∠CDM=60°，
∵CD=AB=4，∠CMD=90°，
∴sin60°=$\frac{CM}{CD}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
∵S_△ADC=S_△ADP+S_△CDP=$\frac{1}{2}$•AD•PE+$\frac{1}{2}$•CD•PF=$\frac{1}{2}$•AD•CM，
∴PE+PF=CM=2$\sqrt{3}$，
∴PE+PF的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查翻折变换、轴对称、等腰三角形的性质、面积法等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．