Question

17．已知关于x的方程（x-k）²-x=k²-4k+2．
（1）求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根；
（2）若这个方程的两个实根x₁、x₂满足|x₁-x₂|=5．求k的值；
（3）当等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）整理成一般形式，根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=4k-2，|x₁-x₂|=5，即（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，建立k的方程求得答案即可；
（3）分b=c，两边长b、c有一边是4，利用等腰三角形的性质与三边关系探讨得出答案即可．

解答 （1）证明：方程整理成一般形式为x²-（2k+1）x+4k-2=0
△=[-（2k+1）]²-4×1×（4k-2）
=4k²-12k+9
=4（k-$\frac{3}{2}$）²，
∵无论k取什么实数值，（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵x₁、x₂是这个方程的两个实根，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=4k-2，
∵|x₁-x₂|=5，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2k+1）²-4（4k-2）=25，
解得k=4或k=-1；
（3）解：当b=c时，k-$\frac{3}{2}$=0，解得k=$\frac{3}{2}$，x₁=x₂=（2k+1）÷2=2；
x²+x-6=0，x=-3或x=2，不合题意，舍去；
当两边长b、c有一边是4时，（4-k）²-4=k²-4k+2，解得k=$\frac{5}{2}$，
关于x的方程（x-k）²-x=k²-4k+2即x²-6x+8=0，x=2或x=4，
等腰△ABC的三边为2、2、4（构不成三角形）或2、4、4，
因此△ABC的周长为2+4+4=10．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．