如图.△ABC中点D.E分别在AB.AC上.且DE∥BC.已知BC=35.CE=15.DE=20.cosC=35.动点P从C出发.沿射线CB方向以每秒1个单位长度的速度运动.直到点P与点B重合时停止.过点P作PQ⊥BC交折线CE-ED-DB与点Q.以PQ为边在其左侧作正方形PQMN.设运动时间为t秒.(1)BD= .当点M与点D重合时.t= 秒．(2)在整个运动过程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，△ABC中点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知BC=35，CE=15，DE=20，cosC=

，动点P从C出发，沿射线CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，直到点P与点B重合时停止，过点P作PQ⊥BC交折线CE-ED-DB与点Q，以PQ为边在其左侧作正方形PQMN，设运动时间为t秒，
（1）BD=

，当点M与点D重合时，t=

秒．
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与四边形BCED的重合部分为s，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）分别过D、E作DG⊥BC，EH⊥BC，垂足分别为G、H，在△EHC中可求得EH，CH，在Rt△DBG中可求得BD，当D和M重合时可知正方形的边长为DG，可求得CP的长，求得t；
（2）分0＜t＜12、12≤t＜23、23≤t＜32和32≤t≤35四种情况，结合条件分别确定出重叠部分的图形，再求得其面积即可．

解答：解：（1）如图1，分别过D、E作DG⊥BC，EH⊥BC，垂足分别为G、H，

在Rt△CEH中，CE=15，cosC=

，
∴

，即

，解得HC=9，
由勾股定理可求得EH=12，
又∵四边形DEHG为矩形，
∴DG=EH=12，GH=DE=20，
又∵BC=35，
∴CG=9+20=29，
∴BG=BC-CG=35-29=6，
在Rt△DBG中，BD²=6²+12²=180，
∴BD=6

，
当M与D重合时，则可知PN=DG=12，CN=CG=GH+CH=29，
∴CP=CG-DG=29-12=17，
∴t=

=17，
故答案为：6

；17；
（2）如图2，当0＜t＜9时，即P在线段CH上时，则重叠部分为正方形PQMN，由题意可知CP=t，
∵cosC=

，
∴

，解得CQ=

，
∴PQ=

t，

∴S=PQ²=（

t）²⁼

t²，
当9≤t＜23时，此时重叠部分为正方形PQMN，且DE=20，S=DE²=400；
当23≤t＜32时，如图3，设MN交BD于R，

则CN=CP+PN=t+12，可求得BN=35-（t+12）=23-t，
∵MN∥DG，
∴

，即

23-t

，解处RN=92-4t，
∴MR=MN-RN=12-（92-4t）=4t-80，
而MD=NG=CN-CG=t+12-29=t-17，
∴S_△MDR=

MR•MD=

×（4t-80）（t-17），
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△MRD=20²-

×（4t-80）（t-17）=-2t²+74t-280；
当32≤t≤35时，如图4，

此时BP=BC-PC=35-t，且BG=6
∵PQ∥DG，
∴

，即

35-t

，
解得PQ=70-2t，
∴S=

BP•PQ=

（35-t）（70-2t）=（t-35）²；
综上可知S=

t2(0＜t＜9)

400(9≤t＜23)

-2t2+74t-280(23≤t＜32)

(t-35)2(32≤t≤35)

．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例及图形的面积，在（2）中确定出重叠部分的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．

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