Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，O为AB边的中点，将OA绕点O逆时针旋转一个锐角得到线段OD，连接BD、CD，若△BCD为轴对称图形，则∠AOD的度数为50°或65°或80°．

Answer 1

分析 如图1，连接AD，根据直角三角形的判定和性质得到∠ADB=90°，当BC=BD时，得到∠BCD=∠BDC，推出AB垂直平分DC，求得∠ABD=∠ABC=25°，于是得到∠AOD=2×25°=50°；当BC=DC时，如图2，连接CO并延长交DB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分DB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=2×40°=80°；当DB=DC时，如图3，连接DO并延长交BC于G，连接OC，推出DG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=∠BOG=65°．

解答 解：∵△BCD为轴对称图形，
∴△BCD是等腰三角形．
如图1，连接AD，
∵O为斜边中点，OD=OA，
∴BO=OD=OA，
∴∠ADB=90°，
当BC=BD时，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD+∠ACD=∠BDC+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∴AB垂直平分DC，
∴∠ABD=∠ABC=25°，
∴∠AOD=2×25°=50°；
当BC=DC时，如图2，连接CO并延长交DB于H，
∵BC=CD，BO=DO，
∴CH垂直平分DB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=25°，
∴∠CBH=65°，
∴∠OBH=40°，
∴∠AOD=2×40°=80°；
当DB=DC时，如图3，
连接DO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴DG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOD=∠BOG=65°，
综上所述：当△BCD为轴对称图形时，∠AOD的值为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．

点评 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边一半的性质是解决问题的关键．