Question

12．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点．
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE．
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）若∠BAC=30°，求∠AFC的度数．
（2）由以上作图可知，四边形AECF是菱形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AF=CF，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，然后根据三角形的内角和定理即可得到；
（2）利用ASA证得△AED≌△AFD，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．

解答 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，
又∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，
∴∠AFC=180°-∠FCA-∠CAF=120°；

（2）在△AED与△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，三角形的内角和，解题的关键是知道通过作图能得到直线的垂直平分线．