Question

若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1，2，3，---）．试问：（1）第2006个数是1还是2？
（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？
（3）前2006个数两两乘积的和是多少？

Answer 1

解：（1）把该列数如下分组：
1 第1组，
2 1 第2组，
2 2 1 第3组，
2 2 2 1 第4组，
2 2 2 2 1 第5组，
-------
2 2 2 2 2 1 第n组 （有n-1个2），
易得，第2006个数为第63组，第53个数，为2；

（2）前2006个数的和为62+1944×2=3950，
前2006个数的平方和是：62×1²+1944×2²=7838；

（3）记这2006个数为：
a₁，a₂，…a₂₀₀₆，
记R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，
T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，
=62×1²+1944×2²，
=7838，
S=a₁a₂+a₁a₃+…+a₁a₂₀₀₆+a₂a₃+a₂a₄+…+a₂a₂₀₀₆+…+a₂₀₀₅a₂₀₀₆，
∴2S=（a₁+a₂+…+a₂₀₀₆）²-（a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²），
=R²-T，
=3950²-7838，
S=（3950²-7862）=7797331．
分析：（1）根据规则可知第n-1行共有数字个数为2+3+4+…+n=-1，由于n=63时，数字个数为2015个，从而得出第2006个数；
（2）观察数的排列可知每行有一个1，其余都是2，得出前2006个数中1的个数和2的个数．
（3）根据数字规律假设出R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，进而求出即可．
点评：此题考查了规律型：数字的变化，解题的关键是得出每行有一个1，其余都是2，并且2的个数为公差为1的等差数列．