Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m-4，0）和B（m，0），与直线y=-x+p相交于点A和点C（2m-4，m-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直线y=-x+p上得到方程组

-(m-4)+p=0 -(2m-4)+p=m-6

，求出方程组的解

m=3 p=-1

，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a即可；
（2）AC所在直线的解析式为：y=-x-1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2

2

，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y=-x+3或y=-x-5，求出方程组的解，即可得到P₁（3，0），P₂（-2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标；
（3）设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），求出MT=-t²+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出MS=-

2

2

（t-

1

2

）²+

25 2

8

，即可得到答案．

解答：解：（1）∵点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）在直线y=-x+p上
∴

-(m-4)+p=0 -(2m-4)+p=m-6

，
解得：

m=3 p=-1

，
∴A（-1，0），B（3，0），C（2，-3），
设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），
∵C（2，-3），代入得：-3=a（2-3）（2+1），
∴a=1
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3．
答：抛物线解析式为y=x²-2x-3．

（2）解：A（-1，0），C（2，-3），由勾股定理得：AC=

[2-(-1)]2+(-3-0)2

=3

2

，
AC所在直线的解析式为：y=-x-1，
∠BAC=45°，
∵平行四边形ACQP的面积为12，
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为

12

3 2

=2

2

，
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2

2

，
∴DN=4，
∵四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，
∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=-x+3或②y=-x-5，
∴由①得：

y=x2-2x-3 y=-x+3

，
解得：

x1=3 y1=0

或

x2=-2 y2=5

，
由②得：

y=x2-2x-3 y=-x-5

，方程组无解，
即P₁（3，0），P₂（-2，5），
∵ACQP是平行四边形，A（-1，0），C（2，-3），
∴当P（3，0）时，当以AC为边时，Q₁（6，-3），Q₂（0，3），
当P（-2，5）时，当以AC为边时，Q₃（1，2），Q₄（-5，8），
以AC为对角线时，P到AC的距离是12÷2÷（

1

2

×3

2

）=2

2

，
过C作CR⊥AC交x轴于R，则AC=CR=3

2

，由勾股定理得：AR=6，
则R的坐标是（5，0）过R作AC的平行线交抛物线于两点，
则此直线的解析式是y=-（x-6）-1=-x+5，
解方程组

y=-x+5 y=x2-2x-3

得：

x1= 1+ 33 2 y1= 9- 33 2

，

x2= 1- 33 2 y2= 9+ 33 2

，
即在AC的两旁各有一条直线，但当在AC下方时，直线和抛物线不能相交，
此时P坐标是（

1+ 33

2

，

9- 33

2

），Q坐标是（

1- 33

2

，

-15+ 33

2

）或P的坐标是（

1- 33

2

，

9+ 33

2

）Q的坐标是（

3+ 33

2

，-

15+ 33

2

）
答：点P，Q的坐标是P₁（3，0），Q₁（6，-3）或（0，3）
或P₂（-2，5），Q₂（1，2）或（-5，8），或P₃（

1+ 33

2

，

9- 33

2

），Q₃（

1- 33

2

，

-15+ 33

2

）或P₄（

1- 33

2

，

9+ 33

2

），Q₄（

3+ 33

2

，-

15+ 33

2

）．


（3）解：设M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），
过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，-t+3），
MT=（-t+3）-（t²-2t-3）=-t²+t+6，
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，
MS=

2

2

MT=

2

2

（-t²+t+6）=-

2

2

（t-

1

2

）²+

25 2

8

，
则当t=

1

2

时，M（

1

2

，-

15

4

），△PQM中PQ边上高的最大值为

25 2

8

，
∵P₁（3，0），Q₁（6，-3）或P₂（-2，5），Q₂（1，2）．
∴当P（3，0），Q（6，-3）时，PQ=

(3-6)2+(0+3)2

=3

2

．
当P（-2，5），Q（1，2）时，PQ=

(-2-1)2+(5-2)2

=3

2

，
∴S_△PQM=

1

2

×PQ×

25 2

8

=

75

8

．
答：△PQM的最大面积是

75

8

，点M的坐标是（

1

2

，-

15

4

）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．