Question

19．如图，△ABC为等边三角形，D为BA延长线上一点，E为线段BC上一点，连接DE、DC，且∠BDE=∠ACD，求证：AD=BE．

Answer 1

分析 作EK∥AC交AB于K，根据平行线的性质可得出△BEK是等边三角形，∠DKE=∠DAC，故EK=BE，再根据DE=DC可知∠DEC=∠DCE，由三角形外角的性质可知∠B+∠KDE=∠DEC，因为∠DCA+∠ACB=∠DCE，故可得出∠B+∠KDE=∠DCA+∠ACB，再由∠B=∠ACB=60°可知∠KDE=∠DCA，故可得出△EKD≌△DAC，故AD=DK，进而可得出结论．

解答 证明：作EK∥AC交AB于K，

∵△ABC是等边三角形，
∴可得△BEK是等边三角形，∠DKE=∠DAC，
∴EK=BE，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠B+∠KDE=∠DEC，
∵∠DCA+∠ACB=∠DCE，
∴∠B+∠KDE=∠DCA+∠ACB，
∵∠B=∠ACB=60°，
∴∠KDE=∠DCA，
在△EKD与△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DKE=∠DAC}\\{∠KDE=∠DCA}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△EKD≌△DAC（AAS），
∴AD=EK，
∴BE=AD．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解答此题的关键．