Question

已知，AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=α，M、N分别是AD、CE的中点．

（1）如图1，若α=60゜，求∠BMN；
（2）如图2，若α=90゜，∠BMN=______；
（3）将图2的△BDE绕B点逆时针旋转一锐角，在图3中完成作图，则∠BMN=______．

Answer 1

解：（1）如图1，连接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M、N分别是AD、CE的中点，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠CBN+∠CBM=∠ABM+∠CBM=∠ABC=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠BMN=60°；

（2）如图2，同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°；

（3）如图3，与（2）的解答相同，∠BMN=45°．
分析：（1）连接BN，求出∠ABD=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠ECB，全等三角形对应边相等可得AD=CE，再求出AM=CN，然后利用“边角边”证明△AMB和△CNB全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=BN，∠ABM=∠CBN，然后求出∠MBN=∠ABC=60°，判断出△BMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BMN=60°；
（2）连接BN，与（1）同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，判断出△BMN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BMN=45°；
（3）与（2）求解相同．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，此类题目往往求解思路相同，本题求出BM=BN，∠MBN=∠ABC是解题的关键．