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5.如图1,△ABC中,AC=AB,以AB为直径的⊙O分别交直线AC、BC于D、E两点.
(1)如图2,若∠C=60°,求证:AD=BE;
(2)如图3,过点A作AF平行BC,交⊙O于点F,点G为AF上一点,连接OG、OF,若∠GOF=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC,求证:AC=2AG;
(3)在(2)的条件下,在AB的延长线上取点M,连接GM,使∠M=2∠GOF,若AD:CD=1:3,BC=2$\sqrt{6}$,求BM的长.

分析 (1)先判断出△ABC是等边三角形,进而得出∠BAC=∠ABC,$\widehat{BD}=\widehat{AE}$,即可得出,$\widehat{AD}=\widehat{BE}$,结论得证;
(2)先判断出∠ABC=∠C,进而判断出,∠AOF=180°-2ɑ,即可判断出,∠AOG=∠AGO得出OA=AG代换即可;
(3)先求出CE,进而用割线定理求出AD,AC,再判断出△ACN是等腰三角形,即可得出△NAC∽△ABC,从而求出CN,最后用△ABN∽△MAG得出AM,即可得出结论.

解答 解:(1)证明:∵AC=AB,∠C=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC,
∴$\widehat{BD}=\widehat{AE}$,
∵$\widehat{AE}=\widehat{AD}+\widehat{DE}$,$\widehat{BD}=\widehat{BE}+\widehat{DE}$,
∴$\widehat{AD}=\widehat{BE}$,
∴AD=BE;
(2)证明:设∠ABC=ɑ,
∵AC=AB,∠ABC=∠C,
∵AF∥BC,
∴∠OAF=∠ABC,
∵OA=OF,
∴∠BAF=∠ABC=ɑ,
∴∠AOF=180°-2ɑ,
∵∠FOG=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC=90°-$\frac{3}{2}$,
∴∠AOG=∠AOF-∠FOG=180°-2α-(90°-$\frac{3}{2}$α)=90°-$\frac{1}{2}$α.
∵∠AGO=∠OFA+∠FOG=α+90°-$\frac{3}{2}α$=90°-$\frac{1}{2}$α,
∴∠AOG=∠AGO,
∴OA=AG,AB=2AG.
∴AC=2AG.
(3)如图3,连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{6}$,
∵AD:CD=1:3,
设AD=x,
∴CD=3x,AC=4x,
根据割线定理得,CD•AC=CE•CB,
∴3x×4x=$\sqrt{6}×2\sqrt{6}$,
∴x=1,
∴AD=1,AC=4,
∴AB=4,
由(2)知,∠GOF=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC=90°-$\frac{3}{2}$α,
∵∠M=2∠GOF,
∴∠M=180°-3α,
过点A作AN∥GM,
∴∠BAN=∠M=180°-3α,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=α,
∴∠BAC=180°-2α,
∴∠CAN=∠BAC-∠BAN=180°-2α-(180°-3α)=α,
∴∠CAN=∠C=∠B,
∴△NAC∽△ABC,
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{AC}{BC}$,
∴$\frac{CN}{4}=\frac{4}{2\sqrt{6}}$,
∴CN=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$,
∴BN=2$\sqrt{6}$-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
由(2)知,AC=2AG,
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=2
∵∠BAN=∠M,∠ABN=∠MAG,
∴△ABN∽△MAG,
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{BN}{AG}$,
∴$\frac{4}{AM}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}$,
∴AM=2$\sqrt{6}$,
∴BM=AM-AB=2$\sqrt{6}$-4.
即BM的长为2$\sqrt{6}$-4.

点评 此题是圆的综合题,主要考查了圆的性质,割线定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的性质和判定,解本题的关键是判断出AB=2AG,构造出等腰三角形ACN是解本题的难点.

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