Question

5．如图1，△ABC中，AC=AB，以AB为直径的⊙O分别交直线AC、BC于D、E两点．
（1）如图2，若∠C=60°，求证：AD=BE；
（2）如图3，过点A作AF平行BC，交⊙O于点F，点G为AF上一点，连接OG、OF，若∠GOF=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC，求证：AC=2AG；
（3）在（2）的条件下，在AB的延长线上取点M，连接GM，使∠M=2∠GOF，若AD：CD=1：3，BC=2$\sqrt{6}$，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC是等边三角形，进而得出∠BAC=∠ABC，$\widehat{BD}=\widehat{AE}$，即可得出，$\widehat{AD}=\widehat{BE}$，结论得证；
（2）先判断出∠ABC=∠C，进而判断出，∠AOF=180°-2ɑ，即可判断出，∠AOG=∠AGO得出OA=AG代换即可；
（3）先求出CE，进而用割线定理求出AD，AC，再判断出△ACN是等腰三角形，即可得出△NAC∽△ABC，从而求出CN，最后用△ABN∽△MAG得出AM，即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵AC=AB，∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC，
∴$\widehat{BD}=\widehat{AE}$，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AD}+\widehat{DE}$，$\widehat{BD}=\widehat{BE}+\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BE}$，
∴AD=BE；
（2）证明：设∠ABC=ɑ，
∵AC=AB，∠ABC=∠C，
∵AF∥BC，
∴∠OAF=∠ABC，
∵OA=OF，
∴∠BAF=∠ABC=ɑ，
∴∠AOF=180°-2ɑ，
∵∠FOG=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC=90°-$\frac{3}{2}$，
∴∠AOG=∠AOF-∠FOG=180°-2α-（90°-$\frac{3}{2}$α）=90°-$\frac{1}{2}$α．
∵∠AGO=∠OFA+∠FOG=α+90°-$\frac{3}{2}α$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠AOG=∠AGO，
∴OA=AG，AB=2AG．
∴AC=2AG．
（3）如图3，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{6}$，
∵AD：CD=1：3，
设AD=x，
∴CD=3x，AC=4x，
根据割线定理得，CD•AC=CE•CB，
∴3x×4x=$\sqrt{6}×2\sqrt{6}$，
∴x=1，
∴AD=1，AC=4，
∴AB=4，
由（2）知，∠GOF=90°-$\frac{3}{2}$∠ABC=90°-$\frac{3}{2}$α，
∵∠M=2∠GOF，
∴∠M=180°-3α，
过点A作AN∥GM，
∴∠BAN=∠M=180°-3α，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=α，
∴∠BAC=180°-2α，
∴∠CAN=∠BAC-∠BAN=180°-2α-（180°-3α）=α，
∴∠CAN=∠C=∠B，
∴△NAC∽△ABC，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{CN}{4}=\frac{4}{2\sqrt{6}}$，
∴CN=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴BN=2$\sqrt{6}$-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由（2）知，AC=2AG，
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=2
∵∠BAN=∠M，∠ABN=∠MAG，
∴△ABN∽△MAG，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{BN}{AG}$，
∴$\frac{4}{AM}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}$，
∴AM=2$\sqrt{6}$，
∴BM=AM-AB=2$\sqrt{6}$-4．
即BM的长为2$\sqrt{6}$-4．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，割线定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出AB=2AG，构造出等腰三角形ACN是解本题的难点．