Question

如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1cm和2cm．
（1）求证：∠ABA′=∠BCC′；
（2）求BC′的长；
（3）求正方形ABCD的边长和面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：几何图形问题

分析：（1）利用等角的余角相等，求证得出：∠ABA′=∠BCC′；
（2）求证得出△ABA′≌△BCC′即可，即BC′=AA′=1；
（3）利用（2）中，△ABA′≌△BCC′，BC′=AA′=1，A′B=CC′=2，进一步利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，最后求得面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵AA′⊥A′C′，CC′⊥A′C′，
∴∠AA′B=∠CC′B=90°，
∴∠ABA′+∠CBC′=90°，∠CBC′+∠BCC′=90°，
∴∠ABA′=∠BCC′；

（2）在△ABA′和△BCC′中，
∠AA′B=∠CC′B，
AB=BC，
∠ABA′=∠BCC′，
∴△ABA′≌△BCC′，
∴BC′=AA′=1；

（3）∵△ABA′≌△BCC′，
∴BC′=AA′=1，A′B=CC′=2，
∴AB=

12+22

=

5

，
即正方形ABCD的边长为

5

；
正方形ABCD的面积=（

5

）²=5．

点评：本题考查了正方形各边相等的性质，等角的余角相等，三角形全等和勾股定理的运用．