Question

14．在数学合作学习小组活动中，小珺所在的小组进行数学探究活动，将边长为4的正△ABC与边长为2$\sqrt{3}$的正△CDE按图1位置放置．BC与CE在同一直线上，线段AE与线段BD相交于点H．
（1）小珺发现结论BD=AE和∠AHB=60°成立，请你说明理由．
（2）如图2，小珺将正△CDE绕点C逆时针旋转，当点D恰好落在线段AE上时，请求出此时线段BD的长；
（3）如图3，小珺将正△CDE绕点C继续逆时针旋转一周，请写出△ABH与△DHE面积之和的最大值，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BCD=∠ACE，进而得出△BCD≌△ACE，即可得出BD=AE，∠CBD=∠CAE最后用三角形的内角和得出∠AHB=60°，
（2）作出辅助线，利用勾股定理即可计算得出结论；
（3）先判断出点A，C，E在同一条直线时，△ABH与△DHE面积之和的最大值，最大值是△ABC和△CDE面积之和．

解答 解：（1）∵△ABC，CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵∠ABC+∠CBD=60°，
∴∠BAE+∠ABD=∠BAC+∠ABD+∠CAE=120°，
∴∠AHB=60°；
（2）如图2，同（1）的方法得出，BD=AE，
过点C作CF⊥AE，
∵△CDE是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴EF=$\sqrt{3}$，CF=3，
在Rt△ACF中，AC=4，CF=3，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BD=AE=AF+EF=$\sqrt{7}$+$\sqrt{3}$，
（3）如图3，过点H作HM⊥AB，HN⊥DE，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$AB×MH=2MH，S_△DEH=$\frac{1}{2}$DE×HN=$\sqrt{3}$HN，
∴S_△ABH+S_△DEH=2MH+$\sqrt{3}$HN，
∴△CDE在运动过程中，点H和点C重合时，S_△ABH+S_△DEH最大，
即：点A，C，E在同一条直线上，
此时，S_△ABH+S_△DEH=S_△ABC+S_△CDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$DE²=4$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$．
即：△ABH与△DHE面积之和的最大值为7$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，极值问题，判断出BD=AE是解本题的关键，难点是点A，C，E在同一直线上时△ABH与△DHE面积之和最大．