Question

若2ⁿ+256是完全平方数的正整数，求n．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：分类讨论

分析：由于n的取值范围不能确定，故应分n≤8和n＞8两种情况进行讨论，当n≤8时原式可化为2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方数，则n必为偶数，再分别把n≤8的所有偶数代入进行验证；当n＞8时，原式可化为2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方数，则2^n-8+1为一奇数的平方，再根据奇数的定义即可求出n的值．

解答：解：当n≤8时，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方数，则n是2的倍数．
若n=2，则2ⁿ+256=2²×65；
若n=4，则2ⁿ+256=24×17；
若n=6，则2ⁿ+256=26×5；
若n=8，则2ⁿ+256=28×2．
所以，当n≤8时，2ⁿ+256都不是完全平方数．
当n＞8时，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方数，则2^n-8+1为一奇数的平方．
设2^n-8+1=（2k+1）²（k为自然数），则2^n-10=k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10=2，
故n=11．

点评：本题考查的是完全平方数及奇数与偶数，解答此题时要注意分n≤8和n＞8两种情况进行讨论，此题难度较大．