分析 首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算:①点P从O→B时,路程是线段PQ的长;②当点P从B→C时(QC⊥AB,C为垂足),点Q从O运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程;③点P从C→A时,点Q由Q向左运动,路程为QQ′;④点P从A→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程;最后相加即可.
解答 解:在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,AO=1,
∴AB=2,BO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为$\sqrt{3}$,
②如图3所示,QC⊥AB,则∠ACQ=90°,即PQ运动到与AB垂直时,垂足为P,
当点P从B→C时,
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°-60°=30°
∴cos30°=$\frac{CQ}{AQ}$
∴AQ=$\frac{CQ}{cos30°}$=2
∴OQ=2-1=1
则点Q运动的路程为QO=1,
③当点P从C→A时,如图3所示,点Q运动的路程为QQ′=2-$\sqrt{3}$,
④当点P从A→O时,点Q运动的路程为AO=1,
∴点Q运动的总路程为:$\sqrt{3}$+1+2-$\sqrt{3}$+1=4
故答案为:4
点评 本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形,此题的解题关键是理解题意,正确画出图形;线段的两个端点看成是两个动点,将线段移动问题转化为点移动问题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{25}{2}$mm | B. | $\frac{25}{2}$$\sqrt{3}$mm | C. | $\frac{25}{4}$mm | D. | $\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$mm |
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