Question

如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,旋转的性质

专题：

分析：（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；
（2）由条件可证明△ANB≌△CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．

解答：（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中

∠ABN=∠CBF AB=BC ∠NAB=∠BCF

∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四边相等、四个角都是直角是解题的关键．在（2）中证得BN=FG是解题的关键．