Question

8．如图，直线y=$-\frac{1}{2}$x+2交坐标轴于A、B两点，C为线段OA上一点，AC=BC，AD⊥AB，BD平分∠OBC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，则k=-8．

Answer 1

分析 求出直线BD、AD的解析式，利用方程组求出点D坐标，再利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：∵A（4，0），直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直线AD的解析式为y=2x-8，
设BC=AC=m，
在Rt△OBC中，m²=（4-m）²+2²，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴OC=$\frac{3}{2}$，设BD交OC于E，
∵BD平分∠OBC，
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{OB}{BC}$，
∴$\frac{OE}{\frac{3}{2}-OE}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$，
∴OE=$\frac{2}{3}$，
∴E（$\frac{2}{3}$，0），
∴直线BD的解析式为y=-3x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=2x-8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴D（2，-4），
把D（2．-4）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=-8．
故答案为-8．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、角平分线的性质定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．