Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙O₁和⊙O₂分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O₁O₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：本题的解题思想是通过构造一直角三角形，把线段O₁O₂放到一直角三角形中，再利用勾股定理就可解得．
解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12；
∴AC=13，△ABC≌△CDA，则⊙O₁和⊙O₂的半径相等．
如图，过O₁作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、E，过O₂作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于F、G、H；
∵∠B=90°，
∴四边形O₁NBE是正方形；
设圆的半径为r，根据切线长定理5-r+12-r=13，解得r=2，
∴BE=BN=2，
同理DG=HD=CF=2，
∴CG=FO₂=3，EF=12-4=8；
过O₁作O₁M⊥FO₂于M，则O₁M=EF=8，FM=BN=2，
∴O₂M=1，
在Rt△O₁O₂M中，O₁O₂==．
点评：本题主要考查了三角形的内切圆的性质及切线长定理，作辅助线是解题的关键．