【题目】已知:抛物线y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(m0)交x轴于A、B两点(其中A点在B点左侧),交y轴于点C.
(1)若A点坐标为(﹣1,0),则B点坐标为 .
(2)如图1,在 (1)的条件下,且am=1,设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO=∠ABC,试求点M坐标.
(3)如图2,在y轴上有一点P(0,n)(点P在点C的下方),直线PA、PB分别交抛物线于点E、F,若,求的值.
【答案】(1)(3,0);(2)满足要求的M点的坐标有(0,﹣2)、(0,2);(3).
【解析】
(1)将A点坐标代入抛物线解析式中求出m的值,然后可将抛物线解析式写成交点式即可知道B点坐标.
(2)先考虑M在y轴负半轴的情况,在y轴负半轴上截取OG=OA=1,连AG,可证△GMA∽△GAC,然后根据相似三角形的性质列方程即可求出M点坐标,由对称性可直接写出另一种情况.
(3)作EG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,由△EAG∽PAO得到线段比例等式推出OP的长度,得出P点坐标,算出直线PB解析式,与抛物线解析式联立可求出F点横坐标,再由△PFH∽△PBO即可得到所求线段比.
(1)将(﹣1,0)代入y=a(x2﹣2mx﹣3m2)得:1+2m﹣3m2=0,
解得:m=1或m=﹣(舍),
∴y=a(x2﹣2mx﹣3m2)=a(x+1)(x﹣3),
∴B(3,0).
故答案为:(3,0).
(2)当am=1,时,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∴C(0,﹣3)
∴OB=OC=3,∠ABC=45°,
如图1,M在y轴负半轴上,在y轴负半轴上截取OG=OA=1,连AG,
则∠AGO=45°=∠ABC,AG=,
∠OCA+∠AMO=∠ABC,
∴∠OCA+∠AMO=45°,
又∵∠OCA+∠GAC=∠AGO=45°,
∴∠AMG=∠GAC,
又∵∠AGM=∠CGA,
∴△GMA∽△GAC,
∴AG2=MGGC,
GC=OC﹣OG=2,设M(0,a)
∴2=(﹣1﹣a)2,
∴a=﹣2,
∴M的坐标为(0,﹣2).
根据对称性可知(0,2)也符合要求.
综上所述,满足要求的M点的坐标有:(0,﹣2)、(0,2).
(3)由抛物线解析式可得:A(﹣m,0),B3m,0).
∵,
∴,
如图2,作EG⊥x轴于点G,FH⊥y轴于点H,
则轴,轴,
△EAG∽PAO,△PFH∽△PBO,
∴,
∴AG=AO=m,OP=2EG,
∴xE=﹣m,yE=am2,即EG=am2,
∴OP=am2,
∴P(0,﹣am2),
又∵B(3m,0),
∴直线PB的解析式为:y=amx﹣am2,
∴amx﹣am2=a(x2﹣2mx﹣3m2),
∴2x2﹣7mx+3m2=0,
∴x1=3m(舍),x2=m,
∴FH=m,
△PFH∽△PBO,
∴.
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【题目】随着通讯技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中,表示" "的扇形圆心角的度数是多少;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用 “微信”进行沟通的学生大约有多少名?
(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信"、""、“电话"三种沟通方式中选一种方式与对方联系,请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率.
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【题目】如图,甲、乙只捕捞船同时从A港出海捕鱼,甲船以每小时15 km的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以每小时15 km的速度沿东北方向前进.甲船航行2 h到达C处,此时甲船发现渔具丢在了乙船上,于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船,结果两船在B处相遇.问:
(1)甲船从C处出发追赶上乙船用了多少时间?
(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
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【题目】为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中∠α的度数是多少?
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)学校为举办2018年度校园文化艺术节,决定从A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率.
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【题目】如图,点在边上,点为边上一动点,连接与关于所在直线对称,点分别为的中点,连接并延长交所在直线于点,连接.当为直角三角形时,的长为_________ .
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1,当点C1、B1、C三点共线时,旋转角为α,连接BB1,交AC于点D.下列结论:①△AC1C为等腰三角形;②△AB1D∽△BCD;③α=75°;④CA=CB1,其中正确的是( )
A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④
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【题目】直线l1,l2,l3,l4是同一平面内的一组平行线.
(1)如图1,正方形ABCD的4个顶点都在这些平行线上,若四条直线中相邻两条之间的距离都是1,其中点A,点C分别在直线l1和l4上,求正方形的面积.
(2)如图2,正方形ABCD的4个顶点分别在四条平行线上,若四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1,h2,h3.
①求证:h1=h3.
②设正方形ABCD的面积为S,求证:S=2h12+2h1h2+h22.
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【题目】如图,在△ABC中,D为AB中点,过点D作DF//BC交AC于点E,且DE=EF,连接AF,CF,CD.
(1)求证:四边形ADCF为平行四边形;
(2)若∠ACD=45°,∠EDC=30°,BC=4,求CE的长.
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