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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时精英家教网出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
    （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
    （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
    （3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
    （4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
    （2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
    ①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
    在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
    （3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值．
    （4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
    解答：精英家教网解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
    ∴PM=DC=12．
    ∵QB=16-t，
    ∴S=
    1
    2
    ×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；

    （2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
    以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
    ①若PQ=BQ．
    在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
    由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，
    解得t=
    7
    2
    ；
    ②若BP=BQ．
    在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122．
    由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2
    即3t2-32t+144=0．
    由于△=-704＜0，
    ∴3t2-32t+144=0无解，
    ∴PB≠BQ．
    ③若PB=PQ．
    由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122
    整理，得3t2-64t+256=0．
    解得t1=
    16
    3
    ，t2=16（舍去）
    综合上面的讨论可知：当t=
    7
    2
    秒或t=
    16
    3
    秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

    （3）如图，由△OAP∽△OBQ，得
    AP
    BQ
    =
    AO
    OB
    =
    1
    2
    ．
    精英家教网∵AP=2t-21，BQ=16-t，
    ∴2（2t-21）=16-t．
    ∴t=
    58
    5
    ．
    过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
    ∵PD=2t，ED=QC=t，
    ∴PE=t．
    在Rt△PEQ中，tan∠QPE=
    QE
    PE
    =
    12
    t
    =
    30
    29
    ．
    又∵AD∥BC，
    ∴∠BQP=∠QPE，
    ∴tan∠BQP=
    30
    29
    ；

    （4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．精英家教网
    如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
    ∵AD∥BC
    ∴∠BQF=∠EPQ，
    又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
    ∴∠BQF=∠BDC，
    ∴∠BDC=∠EPQ，
    又∵∠C=∠PEQ=90°，
    ∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
    ∴
    DC
    BC
    =
    PE
    EQ
    ，即
    12
    16
    =
    t
    12
    ．
    解得t=9．
    所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
    点评：梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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