Question

8．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与点B、点C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE=90°；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=50°，请你求出∠BCE的度数．（写出求解过程）；
（3）探索发现，设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：β=180°-α．
②当点D在线段BC的延长线上时，则α，β之间有怎样的数量关系？请在图3中画出完整图形并请直接写出你的结论：β=180°-α．

Answer 1

分析 （1）由条件可证得△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，利用条件可求得∠ACB=45°，可求得∠BCE=90°；
（2）同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD，从而可求得∠BCE；
（3）①同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD=∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$，从而可求得∠BCE；②过程同①．

解答 解：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
故答案为：90°；
（2）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=65°+65°=130°；
（3）①∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，
故答案为：180°-α；
②如图，

∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABD=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，
故答案为：180°-α．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，把后面的问题都转化为第（1）问中的问题是解题的关键，即利用三角形全等证得角相等．本题所考查知识都是基础知识，难度不大，属于中档题．