Question

【题目】如图，直线l：y=-x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，5)为直线l上一点.动点C从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动.设点C的运动时间为t秒.

（1）①m= ；

②当t= 时，△PBC的面积是1.

（2）请写出点C在运动过程中，△PBC的面积S与t之间的函数关系式；

（3）点D、E分别是直线AB、x轴上的动点，当点C运动到线段QB的中点时(如右图)，△CDE周长的最小值是 .

Answer 1

【答案】(1)1；2或6(2)见解析（3）2．

【解析】

（1）①把点P（m，5）代入y＝x＋4即可求得；

②得到B的坐标，表示出BC，根据三角形面积公式得到关于t的方程，解得即可；

（2）根据三角形面积公式列出即可；

（3）作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，依据勾股定理即可得到FG的长，进而得到△CDE周长的最小值．

（1）①∵点P（m，5）为直线l上一点，

∴5＝m＋4，

解得m＝1，

故答案为1；

②由直线l：y＝x＋4可知A（4，0），B（0，4），

由题意可知：BC＝4t或BC＝t4，

∵S△PBC＝BC|xP|＝1，

∴ (4t)×1＝1或（t4）×1＝1，

解得t＝2或t＝6；

故答案为2或6；

（2）∵BC＝4t或BC＝t4，

∴△PBC的面积S与t的函数关系式为S＝

（3）如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，

∵点C是OB的中点，

∴BC＝CO＝2，OG＝2，BG＝6，

易得∠ABC＝45°，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝2，

由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，

当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，

此时△DEC周长最小，

∵Rt△BFG中，FG＝，

∴△CDE周长的最小值是2．

故答案为2．

【点晴】

本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积，轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．