Question

如图：已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD=nDA，连线段BD，M为线段BD上一点，∠AMD=60°，AM交BC于E．
（1）若n=1，则=　　．=　　；
（2）若n=2，求证：BM=6DM；
（3）当n=　　时，M为BD中点．
（直接写结果，不要求证明）

Answer 1

（1）1  2 （2）见解析 （3）

试题分析：（1）CD=nDA，当n=1时，CD=DA，据等边三角形ABC的三线合一，可以得出∠BDA=90°，由∠AMD=60°，可得∠EAD=30°，
又∠BAC=60°，可得∠BAE=30°，AE为∠BAC的角平分线．依据三线合一可得BE=EC．容易得AM=2MD，AM=BM．问题得到解决．
（2）若n=2，则CD=2DA，△ABC是等边三角形，∠AMD=60°，可证明△BAD≌△ACE，得AD=CE，CD=BE；作辅助线CF∥BD交AE于F，可得===①，==②，观察①②的乘积，可得BM、DM的数量关系．
（3）由M为BD中点，可知BM=MD．由∠AMD=60°，△ABC为等边三角形，可得△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD，由相似三角形对应边成比例，可得AD=，DC=，运用比例的性质合理变形，问题可求．
（1）解：当n=1时，CD=DA，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，∠BAC=60°，
∴∠ADM=90°，
又∵∠AMD=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠MAD=30°，即∠BAE=∠EAD，
∴AE为△ABC的中线，
∴；
在△AMD中，MD=AM，（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∵∠BAM=∠ABM=30°，
∴AM=BM，
∴．
（2）证明：
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又∵BA=CA，∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE∴CD=BE
作CF∥BD交AE于F，
∴===①，==②，
∴①×②得=，
∴BM=6DM．
（3）解：
∵M为BD中点，
∴BM=MD，
∵△BAD≌△ACE（ASA）
∴AD=CE
∴CD=BE
∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD
∴AD=③，DC=④，
③•④得CD=AD，
∴n=．

点评：此题为考查三角形中线段的倍数关系，相关知识点的综合应用能力，解题关键在如何作辅助线．