Question

钝角三角形ABC中，有一个角等于60°，则最长边c与最短边a的比值

c

a

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：利用正弦定理得出

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，进而得出

c

a

=

sin(120°-∠A)

sinA

，再利用0＜sinA＜

1

2

，0.866＜sin（120°-A）＜1，得出即可．

解答：解：∵钝角三角形ABC中，最长边为c，最短边为a，且有一个角等于60°，
∴∠B=60°，∠C=120°-∠A，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

c

a

=

sin(120°-∠A)

sinA

∵0°＜∠A＜30°，当∠A=30°，

c

a

=2，
当0°＜∠A＜30°，则0＜sinA＜

1

2

，0.866＜sin（120°-A）＜1，
∴

c

a

＞2，
故答案为：

c

a

＞2．

点评：此题主要考查了三角形三边关系以及正弦定理等知识，根据正弦定理得出

c

a

=

sin(120°-∠A)

sinA

是解题关键．