Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)

①AM平分∠CAB；

②AM2＝ACAB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；

④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

连接OM，由切线的性质可得OM⊥PC，继而得OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得的长可判断③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，继而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，进而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的长，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判断④.

连接OM，

∵PE为⊙O的切线，

∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴OM∥AC，

∴∠CAM＝∠AMO，

∵OA＝OM，

∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，

∴△ACM∽△AMB，

∴，

∴AM2＝ACAB，故②正确；

∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴的长为，故③错误；

∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，

∴BD∥AC//OM，

∴△PBD∽△PAC，

∴，

∴PB＝PA，

又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，

∴PB=OB=AO，

又∵BD∥AC//OM，

∴PD=DM=CM，

∴OM=2BD＝2，

在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2

∴PD==，

∴CM＝DM＝DP＝，故④正确，

故答案为：①②④.