Question

12．如图，矩形AOCB的两边在坐标轴上，抛物线y=-x²+4x+2经过A、B两点．
（1）求点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q由点A出发以每秒4个单位长度的速度沿AO-OC-CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动，设点P的移动时间为t秒．
①当△PQC是直角三角形时t的值；
②当PQ∥OB时，对于抛物线上一点H，满足∠POQ＜∠HOQ，求点H横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的点的特点和矩形的性质，直接求出；
（2）①由运动特点分三种情况，用勾股定理计算即可；②当PQ∥OB时，时间t=$\frac{8}{7}$，再求出特殊位置的交点的横坐标，在判断出即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+4x+2经过A、B两点，
∴A（0，2），
∵AB是矩形的一条边，
∴AB=4，
（2）Ⅰ、Q在AO边上，由运动有AP=t，AQ=4（t-1），
∴P（t，2），Q（0，6-4t），
∵C（4，0），
根据勾股定理得PQ²+PC²=CQ²，
∴t²+[4（t-1）]²+4+（4-t）²=16+（2-4（t-1））²，
∴t=-2+2$\sqrt{3}$，或t=-2-2$\sqrt{3}$（舍）
∴t=-2+2$\sqrt{3}$．
Ⅱ、Q在OC边上，AP=OQ，
∴4（t-1）-2=t．
∴t=2，
Ⅲ、Q在CB边上，同Ⅰ的方法得，t=3，
②当PQ∥OB时，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CO}$
∵P（t，2），Q（6-4t，0），
∴CP=6-t，CQ=4-（4t-2）=6-4t，
∴$\frac{6-t}{2}=\frac{6-4t}{4}$，
∴t=$\frac{8}{7}$，
∴点P的坐标为（$\frac{8}{7}$，2）；
由题意联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{4}x}\\{y=-{x}^{2}+4x+2}\end{array}\right.$  和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{7}{4}x}\\{y=-{x}^{2}+4x+2}\end{array}\right.$
∴x=$\frac{9±\sqrt{209}}{8}$和x=$\frac{23±3\sqrt{73}}{8}$，
∵∠POQ＜∠HOQ
∴H点的取值范围为x＜$\frac{23-3\sqrt{73}}{8}$和x＞$\frac{9+\sqrt{209}}{8}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用运动时间表示出线段．