Question

15．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
（1）求证：四边形AGPH是矩形；
（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“矩形的定义”证明结论；
（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．

解答 （1）证明∵AC=9  AB=12  BC=15，
∴AC²=81，AB²=144，BC²=225，
∴AC²+AB²=BC²，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形；

（2）存在．理由如下：
连结AP．
∴GH=AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．