Question

如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．
（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；
（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方向以5cm/s 的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？
（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，直线EF与⊙O有两个公共点．

Answer 1

分析：（1）连接圆心和切点构造直角三角形，利用勾股定理求得QO的长；
（2）当直线EF与⊙O相切时，连接圆心与切点构造等边三角形求得直线EF运动的距离，除以速度即得到时间，本题应分内切和外切两种情况讨论；
（3）根据直线与圆相交和相离确定时间的取值范围．

解答：解：
（1）如图，连接OC，
∵PC切⊙O与点C，
∴OC⊥PC，
∵EF垂直平分PC，PC=16cm
∴QC=8cm，
∴QO=

QC2+OC2

=10厘米；

（2）当直线EF与⊙O相切于点D、交直线PM于点N时，连接OD．
∴四边形ODNC是正方形，
∴CN=OD=6，
∴QN=QC+CN=6+8=14或QN=QC-CN=8-6=2，
∵直线EF沿射线QM方向以5cm/s 的速度平移，
∴t=

2

5

s或

14

5

s；

（3）当0＜t＜

2

5

或t＞

14

5

时，直线EF与⊙O无公共点，
当

2

5

＜t＜

14

5

时，直线EF与⊙O有两个公共点．

点评：本题考查了勾股定理的应用、相似三角形的判定及性质及动点问题，解决动点问题的关键是化动为静．