Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）请直接写出A，B，P三点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在点D，使△ABD面积等于△ABC面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根据半径及C点的坐标即可用三角形函数求出∠ACB的值．
（2）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标，根据C点的坐标和圆的半径就叫可以求出P点的坐标．
（3）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（4）根据A、B的坐标可以求出AB的长度，由C的坐标就可以计算出计算出△ABC的面积，设D（a，-a²+2a+2），当D点在x轴的上方和下方两种不同的情况计算就可以求出D点的坐标．

解答：解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∴sin∠CAH=

1

2

∴∠CAH=30°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°．

（2）A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，P（1，3

（3）∵顶点P（1，3）
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，把点A(1-

3

，0)代入，得
y=a（1-

3

-1）²+3，解得
a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+3或y=-x²+2x+2

（4）∵A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，
∴AB=2

3

．
∵C（1，1），
∴CH=1，
∴S_△ABC=

2 3 ×1

2

=

3

．
设D（a，-a²+2a+2），当D在x轴的上方时，△ABD的AB边上的高是-a²+2a+2，
∴

2 3 (-a2+2a+2)

2

=3

3

，解得：x=1，
∴D（1，3）．
当D在x轴的下方时，△ABD的AB边上的高是a²-2a-2，
∴

2 3 (a2-2a-2)

2

=3

3

，解得：x₁=1-

6

，x₂=1+

6

，
∴D(1-

6

，-3)，D(1+

6

，-3)，
综上所述，D点的坐标是：
D(1-

6

，-3)，D(1+

6

，-3)，D（1，3）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了特殊角的三角函数值，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的运用及轴对称的性质．