Question

如图，ABCD是边长为4cm的正方形，M是CD的中点，有一动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A→B→C→D→A方向运动，设P点运动的时间为t（s），△APM的面积为S（cm²）．
（1）当t=3时，求S；
（2）当t=7时，求S；
（3）当4＜t≤8时，试确定t与S的函数关系式；
（4）当8＜t≤16且t≠10时，试确定t与S的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意作图，根据图形可求得△APM的高MN的长，又由S=

1

2

PA•MN，即可求得S的值；
（2）首先根据题意作图，由题意求得BP，CP，CM，DM的长，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可求得S的值；
（3）当4＜t≤8时，可知P在BC上，根据（2）的解题方法，首先求得BP，CP，CM，DM的长，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可确定t与S的函数关系式；
（4）分别从8＜t＜10，10＜t≤12与12＜t≤16去分析，分别作出图形，根据图形求得△APM的面积S的值，即可求得t与S的函数关系式．

解答：解：（1）当t=3时，如图：
过点M作MN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MNBC是矩形，
∴MN=AD=4，
根据题意得：PA=3，
∴S=

1

2

PA•MN=

1

2

×3×4=6；

（2）当t=7时，如图：
根据题意得：AB+BP=7，AB=BC=CD=4，
∴BP=3，CP=1，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-

1

2

×4×3-

1

2

×1×2-

1

2

×2×4=5；

（3）当4＜t≤8时，如图：
根据题意得：AB+BP=t，AB=BC=CD=4，
∴BP=t-4，CP=8-t，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-

1

2

×4×（t-4）-

1

2

×（8-t）×2-

1

2

×2×4=12-t；
∴当4＜t≤8时，t与S的函数关系式为S=12-t；

（4）当8＜t＜10时，如图1：
根据题意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴PM=CM-CP=2-（t-8）=10-t，
∴S=

1

2

MP•AD=

1

2

×（10-t）×4=20-2t；
当10＜t≤12时，如图2：
根据题意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=

1

2

CD=2
∴PM=CP-CM=（t-8）-2=t-10，
∴S=

1

2

MP•AD=

1

2

×（t-10）×4=2t-20；
当12＜t≤16时，如图3：
根据题意得：AB+BC+CD+DP=t，AB=BC=CD=AD=4，
∴DP=t-12，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△DPM-S_梯形ABCM=4×4-

1

2

×2×（t-12）-

1

2

×（2+4）×4=16-t；
∴当8＜t≤16且t≠10时，t与S的函数关系式为：S=

20-2t  (8＜t＜10) 2t-20  (10＜t≤12) 16-t     (12＜t≤16)

．

点评：此题考查了正方形的性质以及三角形的面积的求解方法，考查了动点问题．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．