Question

如图，在△ABC中，AC＞BC，D是AC边上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是

 

；（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD=2，BC=

3

，求CD的长．

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定方法及已知可得到需要补充的条件，根据相似三角形的性质不难求得CD的长．

解答：解：（1）添加∠CBD=∠A．
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB．
（或∠CDB=∠CBA或

CD

BC

=

BC

AC

，或

CD

BC

=

BC

AC

=

BD

AB

等）

（2）设CD=x，则CA=x+2，
若△CBD∽△CAB，且AD=2，BC=

3

，则

CD

BC

=

BC

AC

，
即

x

3

=

3

x+2

，
∴x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3，
经检验，x₁=1，x₂=-3都是原方程的解，但x₂=-3不符合题意，应舍去，
∴CD=1．

点评：此题利用了相似三角形的判定和性质，还用到了一元二次方程的内容．