Question

6．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），当|x₁-x₂|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．
（3）在对称轴直线l上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形，直接写出所有满足条件Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式；
（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x²+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（-1，0），N（1，4）；
（3）可设Q（1，t），则可用t分别表示出AQ、CQ的长，由等腰三角形的性质可得到关于t的方程，可求得点Q的坐标．

解答 解：（1）由已知对称轴为x=1，得-$\frac{b}{2×（-1）}$=1，解得b=2，
∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+1，0），即-x²+2x+c=0的解为m-2和2m+1，
∴（m-2）+（2m+1）=2，解得m=1，
将m=1代入（m-2）（2m+1）=-c得，（1-2）（2+1）=-c，解得c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，整理可得x²+（k-2）x-1=0，
∴x₁+x₂=-（k-2），x₁x₂=-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k-2）²+4，
∴当k=2时，（x₁-x₂）²的最小值为4，即|x₁-x₂|的最小值为2，
∴x²-1=0，由x₁＜x₂可得x₁=-1，x₂=1，即y₁=4，y₂=0，
∴当|x₁-x₂|最小时，抛物线与直线的交点为M（-1，0），N（1，4）；
（3）由（1）可知A（-1，0），C（0，3），
∵Q为对称轴上的一点，且对称轴为x=1，
∴设Q（1，t），
∴AC=$\sqrt{{（-1）}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AQ=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，CQ=$\sqrt{{1}^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$
∵△ACQ为等腰三角形，
∴有AC=AQ、AC=CQ和AQ=CQ三种情况，
①当AC=AQ时，即$\sqrt{10}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，解得t=±$\sqrt{6}$，此时Q点坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
②当AC=CQ时，即$\sqrt{10}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$，解得t=0或t=6，此时Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
③当AQ=CQ时，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$，解得t=1，此时Q点坐标为（1，1）；
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，6）或（1，1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中利用求得m的值是解题的关键，在（2）中确定出k的值是解题的关键，在（3）中利用点Q的坐标分别表示出AQ、CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．