Question

（2012•市中区一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：∠DAF=∠CDE；
（2）问△ADF与△DEC相似吗？为什么？
（3）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）先根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC，通过等量代换可得出∠DAF=∠CDE；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得出AD∥BC，AB∥CD，∠ADE=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE=∠B，可得出∠AFD=∠C，故可得出结论；
（3）先由四边形ABCD是平行四边形，可得出AD∥BC，CD=AB=4，再由AE⊥BC，得出AE⊥AD，由勾股定理求出DE的长，由△ADF∽△DEC可得出两三角形的边对应成比例，进而可得出AF的长．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠AFD=180°-∠AFE，∠C=180°-∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
∴∠DAF=∠CDE；

（2）解：△ADF∽△DEC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADE=∠CED，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC  CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
∴AF=2

3

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理及平行四边形的性质，此题有一定的综合性，难度适中．