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    △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．

    (1) 证明：△BDG≌△CEF；

    (2) 设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果精确到十分位）

    (3) 小颖想：不求正方形的边长我也能画出正方形．具体作法是：如图3

     ①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；

     ②连接BF′并延长交AC于F；

     ③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．你认为小颖的作法正确吗？请说明理由．

     

    【答案】

    （1）证明：∵DEFG为正方形

    ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

    ∵△ABC是等边三角形

    ∴∠B=∠C=60°

    ∴△BDG≌△CEF（AAS）

    （2）设正方形的边长为x，作△ABC的高AN，交BC于点N，交GF于点M

    ∵AN为等边△ABC的高，AB=2

    ∴AN=，AM=-

           ∵△AGF∽△ABC

           ∴

    ∴

    ∴

    ∴正方形的边长约为0.9

    （3）正确   理由如下：

    由已知可知，四边形GDEF为矩形

    ∵FE∥

    ∴

    同理

    ∴

    又∵

    ∴FE=FG

           ∴矩形GDEF为正方形

    【解析】（1）根据正方形的性质可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等边三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了；

    (2)．设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，可以求出AH的长，然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例；可以列出关于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的边长；

    (3)．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料并解答问题：
    我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
    关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
    方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=
    1
    2
    （m2-1）和c=
    1
    2
    （m2+1）是勾股数．
    方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
    （1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
    （2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
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    （3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树
     
    棵．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底同高
    等底同高
    ．
    （2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形，
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    ．
    （3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
    关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
    方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=数学公式（m2-1）和c=数学公式（m2+1）是勾股数．
    方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
    （1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
    （2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：

    （3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．

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