Question

如图，直线y=-x-1与抛物线y=ax²+bx-4都经过点A（-1，0）、C（3，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线图象上的两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）首先要弄清的是PE的长，实际是直线AC与抛物线函数值的差，可设出P点横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式表示出P、E的纵坐标，进而得到关于PE与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PE的最大值．
（3）此题要分作两种情况考虑：
①Rt△PCQ以P为直角顶点，根据直线AC的解析式，可求得直线PQ的解析式y=kx+b中k=1，已知了点P的坐标，即可求得直线PQ的解析式，联立抛物线的解析式，可求得Q点的坐标；
②当Rt△PCQ以C为直角顶点时，方法同上．
解答：解：（1）∵A（-1，0）、C（3，-4）在抛物线y=ax²+bx-4上，
∴，
∴a=1，b=-3，
∴y=x²-3x-4．

（2）设动点P的坐标为（m，-m-1），则E点的坐标为（m，m²-3m-4），
∴PE=（-m-1）-（m²-3m-4），
=-m²+2m+3，
=-（m-1）²+4，
∵PE＞0，
∴当m=1时，线段PE最大且为4．

（3）假设存在符合条件的Q点；
当线段PE最大时动点P的坐标为（1，-2），
①当PQ⊥PC时，
∵直线PC的解析式为：y=-x-1
∴直线PQ的解析式可设为：y=x+b，
则有：-2=1+b，b=-3；
∴直线PQ的方程为y=x-3，
联立
得点Q的坐标为：（2+，-1），（2-，--1）．
②当CQ⊥PC时，同理可求得直线CQ的解析式为y=x-7；
联立抛物线的解析式得：，
解得，（舍去），
∴Q（1，-6）；
综上所述，符合条件的Q点共有3个，坐标为：Q₁（2+，-1），Q₂（2-，--1），Q₃（1，-6）．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；需要注意的是（3）题中，点P、C都有可能是直角顶点，要分类讨论，以免漏解．