Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接PM，PN，

∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，

∵PE⊥PF，

∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，

，

∴△PMF≌△PNE（ASA），

∴PE=PF

（2）证明：解：分两种情况：

①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，

由（1）得△PMF≌△PNE，

∴NE=MF=t，PM=PN=1，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，

∴b=2+a，

②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a．

综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2﹣a；

（3）证明：存在；

①如图3，当0＜t＜1时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=1﹣t，

当△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，此时无解，

当△OEQ∽△MFP时，

∴ ，

= ，

解得，t=2﹣ 或t=2+ （舍去）；

②如图4，当1＜t＜2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

当△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

解得，t= ，

当△OEQ∽△MFP时，

∴ ，

= ，

解得，t= ，

③如图5，当t＞2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，

∴F′（1﹣t，0）

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ= t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

当△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

无解，

当△OEQ∽△MFP时，

∴ ，

= ，

解得，t=2+ ，t=2﹣ （舍去）

所以当t=2﹣ 或 或 或t=2+ 时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似

【解析】（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．