Question

13．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．
（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．

Answer 1

分析 （1）抛物线的解析式为y=ax²+c，把点C（0，8）和点B（16，0），代入即可求出抛物线解析式；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=ax²+c，
又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），
∴0=256a+8，a=-$\frac{1}{32}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{32}$x²+8（-16≤x≤16）；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB²=OD²+DB²
∴R²=（R-8）²+16²，解得R=20；
（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$，
∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．

点评 此题主要考查了垂径定理的应用以及二次函数的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键．