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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

    （1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM=DN；
    （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？答：
    是
    是
    （请写出结论，不用证明．）
    分析：（1）连接BD，证明△DMB≌△DNC．根据已知，全等条件已具备两个，再证出∠MDB=∠NDC，用ASA证明全等，四边形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC面积的一半；
    （2）成立．同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC；
    （3）结论仍然成立，方法同（1）．
    解答：证明：（1）连接BD（1分）
    ∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点
    ∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
    ∴BD=AD=CD
    ∴∠ABD=∠A=45°
    ∴∠MBD=∠C=45°（2分）
    ∵∠MDB+∠BDN=90°
    ∠NDC+∠BDN=90°
    ∴∠MDB=∠NDC（3分）
    在△MDB和△NDC中
    ∠MBD=∠C
    BD=CD
    ∠MDB=∠NDC

    ∴△MDB≌△NDC（ASA）（4分）
    ∴DM=DN（5分）
    （2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，
    由（1）知BD⊥AC，BD=CD
    ∴∠ABD=∠ACB=45°
    ∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
    ∴∠MBD=∠NCD
    ∵BD⊥AC
    ∴∠MDB+∠MDC=90°（6分）
    又∠NDC+∠MDC=90°
    ∴∠MDB=∠NDC（9分）
    在△MDB和△NDC中
    ∠MBD=∠NCD
    BD=CD
    ∠MDB=∠NDC

    ∴△MDB≌△NDC（ASA）    （11分）
    ∴DM=DN（12分）
    （3）是 （13分）
    点评：本题利用ASA求三角形全等，还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理，勾股定理和面积公式的利用等知识．
    练习册系列答案
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    精英家教网定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
    探究：
    （1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
    （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN．
    ①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
    ②当n＞1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式．（不必证明）精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=
    12
    BC．根据上面的结论：
    （1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
    （2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

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    （2013•德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
    （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
    （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
    如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

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    （1）添线补全如图1几何体的三视图．

    （2）如图2，已知△ABC．请你确定一点P，使PB=PC，且点P到∠B的两边距离相等．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
    （1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N
    ①证明：DM=DN
    ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积
    （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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