Question

16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P、Q分别在BC、AC上，CP=3x，CQ=4x （0＜x＜1），把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）当x=$\frac{3}{8}$时，点E落在AB上；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）设△PDE与△ABC重叠部分面积为S，试求S关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到AC=4，根据旋转的性质得到DE=CQ=4x，DE⊥PQ，根据相似三角形的性质得到∠CPQ=∠B，推出PQ∥AB，于是得到结论；
（2）连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12-4x，故可得出x的值，进而得出结论；
（3）分①当0＜x≤$\frac{3}{8}$时，②当$\frac{3}{8}$＜x＜1时，两种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∵把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，
∴DE=CQ=4x，DE⊥PQ，
∵$\frac{PC}{BC}$=$\frac{3x}{3}$=x，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{4x}{4}$=x，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC}$．
∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB，
∴∠DPE=∠PGB．
∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，
∴∠B=∠PGB，
∴PB=PG=5x，
∴3x+5x=3，
∴x=$\frac{3}{8}$，
故答案为：$\frac{3}{8}$；
（2）解：连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=4-4x，
∴4-4x=2x，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴CP=3x=2；

（3）解：当点E在AB上时，
由（1）知，x=$\frac{3}{8}$．
①当0＜x≤$\frac{3}{8}$时，S=$\frac{1}{2}$CQ•CP=$\frac{1}{2}$•3x•4x=6x；
②当$\frac{3}{8}$＜x＜1时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足为H，
∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，
∴$\frac{GH}{ED}$=$\frac{PG}{PE}$=$\frac{PH}{PD}$．
∵PG=PB=9-3x，
∴$\frac{GH}{4x}$=$\frac{3-3x}{5x}$=$\frac{PH}{3x}$，
∴GH=$\frac{4}{5}$（3-3x），PH=$\frac{3}{5}$（3-3x），
∴FG=DH=3x-$\frac{3}{5}$（3-3x），
∴S=$\frac{1}{2}$（FG+PD）•HG=$\frac{1}{2}$[3x-$\frac{3}{5}$（3-3x）+3x]×$\frac{4}{5}$（3-3x）=-$\frac{234}{25}$x²+$\frac{36}{5}$x+$\frac{54}{25}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{6x（0＜x≤\frac{3}{8}）}\\{-\frac{234}{25}{x}^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{54}{25}（\frac{3}{8}＜x＜1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质，角平分线，方程，一次函数等知识，在解答（3）时能正确进行分类讨论是解题的关键．