Question

14．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=$\frac{1}{2}$BD=1，BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，然后根据矩形的面积公式求解．

解答 解：连结BD、OC，如图，

∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BD=1，BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．